Scale Logaritmiche

SCALA LOGARITMICA:

• sull’asse prescelto (ad es. asse x) si rappresenta il punto di ascissa 1 = 10^{0}

• nella direzione positiva si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 10^{1} , 10^{2} , 10^{3} , …

• nella direzione negativa si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 10^{−1} , 10^{−2} , 10^{−3} , …

• i valori intermedi tra una potenza di 10 e la successiva (ad.es. 2 , 3 , … 9 ) sono posizionati ai valori dei rispettivi logaritmi decimali

APPLICAZIONI:

• rappresentare misure positive con ordini di grandezza molto diversi fra loro

• linearizzare funzioni esponenziali y = K · a^{x} scale semilogaritmiche

• linearizzare funzioni potenza  y = A · x^{b}  scale logaritmiche

Carta SemiLogaritmica

CARTA SEMILOGARITMICA: scala lineare sull’asse delle ascisse X e scala logaritmica sull’asse delle ordinate Y (o viceversa)

TRASFORMAZIONE DI VARIABILI:  X = x  Y = log_{10} y

Matematica con Elementi di Statistica - prof. Anna Torre- 2009–10

Carta Logaritmica

CARTA LOGARITMICA: scala logartimica sull’asse delle ascisse X e scala logaritmica sull’asse delle ordinate Y

TRASFORMAZIONE DI VARIABILI:  X = log_{10} x  Y = log_{10} y

Matematica con Elementi di Statistica - prof. Anna Torre- 2009–10

Carte SemiLogaritmiche

data la funzione esponenziale

y = K · a^{x}

passando ai logaritmi decimali e utilizzando le proprietà dei logaritmi

⇒ log_{10} y = log_{10} [ K · a^{x}] ⇒ log_{10} y = log_{10} K + x · log_{10} a ponendo X = x e Y = log_{10} y

Y = log_{10} K + X · log_{10} a

che è l’equazione di una retta y = mx + q con coefficiente angolare m = log_{10} a e intercetta q = log_{10} K

Matematica con Elementi di Statistica - prof. Anna Torre- 2009–10

Carte Logaritmiche

data la funzione potenza

y = K · x^{b}

passando ai logaritmi decimali e utilizzando le proprietà dei logaritmi

⇒ log_{10} y = log_{10} [ K · x^{b}] ⇒ log_{10} y = log_{10} K + b · log_{10} x ponendo X = log_{10} x e Y = log_{10} y

Y = log_{10} K + b · X

che è l’equazione di una retta y = mx + q con coefficiente angolare m = b e intercetta q = log_{10} K

Matematica con Elementi di Statistica - prof. Anna Torre- 2009–10

Carta SemiLogaritmica - Esempio

Matematica con Elementi di Statistica - prof. Anna Torre- 2009–10

Carta Logaritmica - Esempio

Matematica con Elementi di Statistica - prof. Anna Torre- 2009–10

\underline{Esercizi}

ESERCIZIO 1 - In un grafico con scala semilogaritmica è rappresentata la retta di equazione Y = − log_{10} 2 + (log_{10} 3)X . Trovare il legame funzionale tra x e y dove X = x e Y = log_{10} y.

log_{10} y = − log_{10} 2 + x · log_{10} 3 = log_{10} 3^{x} − log_{10} 2 = log_{10} \frac{3^{x}}{2}

SOLUZIONE : y = \frac{3^{x}}{2}

Trovare il coefficiente angolare della retta che rappresenta, su tale scala, la funzione

y = (\frac{1}{3})^{x}. Dire se tale coefficiente angolare è positivo o negativo.

log_{10} y = log_{10} (\frac{1}{3})^{x} = x · log_{10} \frac{1}{3}

SOLUZIONE : Y = [log_{10} (\frac{1}{3})] x m = − log_{10} 3 < 0 ESERCIZIO 2 - In un grafico in scala semilogaritmica è rappresentata la retta di equazione Y = log_{10} 2 + (log_{10} 3)x, dove Y = log_{10} y . Trovare il corrispondente legame funzionale tra x e y.

log_{10} y = log_{10} 2 + x · log_{10} 3 = log_{10} (2 · 3^{x})

SOLUZIONE : y = 2 · 3^{x}

Rispondere alla stessa domanda nel caso che sia assegnata su carta logaritmica la retta di equazione Y = − log_{10} 5 + 2X , dove X = log_{10} x.

log_{10} y = − log_{10} 5 + 2 log_{10} x = log_{10} \frac{x^{2}}{5}

SOLUZIONE : y = \frac{x^{2}}{5} ESERCIZIO 3 - Su carta semilogaritmica è assegnata la retta di equazione Y = log_{10} 3+(log_{10} 4)x, dove Y = log_{10} y . Trovare il corrispondente legame funzionale tra x ed y.

Si risponda alla stessa domanda nel caso che sia assegnata su carta logaritmica la

retta di equazione Y = log_{10} 5 + \frac{3}{2}X , dove X = log_{10} x.

ESERCIZIO 4 - In un grafico con scala logaritmica (scala logaritmica sia sull’asse delle ascisse che sull’asse delle ordinate)

• È rappresentata la retta di equazione Y = −3X + 5 . Trovare il legame funzionale tra x e y dove X = log_{10} x e Y = log_{10} y.

• Scrivere l’equazione della retta che rappresenta su tale scala la funzione y = (√2x)^{3} .

SOLUZIONE a: log_{10} y = −3 log_{10} x+5 quindi y = 10^{−3 log_{10} x+5} = 10^{5}(10^{log_{10} x)^{−3}} =

\frac{10^{5}}{x^{3}} cioè y = \frac{100000}{x^{3}} .

SOLUZIONE b: log_{10} y = log_{10} (2x)^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} log_{10} 2x e quindi la retta è Y = \frac{3}{2}X +

\frac{3}{2} log_{10} 2.

Matematica con Elementi di Statistica - prof. Anna Torre- 2009–10

ESERCIZIO 5 - In un grafico con scala semilogaritmica (scala normale sull’ asse delle ascisse e scala logaritmica sull’asse delle ordinate)

• È rappresentata la retta di equazione Y = − log_{10} 5 + (log_{10} 2)X . Trovare il legame funzionale tra x e y dove X = x e Y = log_{10} y.

• Trovare il coefficiente angolare della retta che rappresenta su tale scala la

funzione y = (\frac{3}{5})^{x}. Dire se tale coefficiente angolare è positivo o negativo.

SOLUZIONE a: log_{10} y = x · log_{10} 2 − log_{10} 5 = log_{10} 2^{x} − log_{10} 5 = log_{10} \frac{2^{x}}{5} da cui

y = \frac{2^{x}}{5}

SOLUZIONE b: log_{10} y = log_{10} ((\frac{3}{5})^{x}) = x log_{10} (\frac{3}{5}) cioè Y = (log_{10} \frac{3}{5})X e quindi

il coefficiente angolare è log_{10} (\frac{3}{5})