| Docente: | Andrea Moiola |
| http://matematica.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | http://matematica.unipv.it/moiola/T/ANMPDE2020/ANMPDE2020.html |
| Pagina ufficiale: | http://matematica.unipv.it/it/corsi/2019/24904 |
| Lezioni: | Martedì 11-13, E9 |
| Giovedì 11-13, E9 | |
| Semestre: | Primavera 2020 |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 16 (48 totali) |
| Date appelli: | 17 giugno, 9 luglio, 9 settembre 2020. Contattare i docenti per prendere appuntamento. |
Questa parte del corso riguarderà metodi numerici per problemi di scattering di onde.
In particolare ci occuperemo di metodi agli elementi al bordo (BEM, boundary element methods) per l'equazione di Helmholtz \(\Delta u+k^2u=0\).
Alcune immagini ed animazioni di soluzioni dell'equazione di Helmholtz.
File pdf con le dispense del corso. Per favore segnalate gli errori!
Le altre parti del corso verranno tenute da Franco Brezzi e
Giancarlo Sangalli.
Le lezioni inizieranno martedì 7 aprile 2020 e verranno fatte in videoconferenza attraverso Google Meet.
Gli studenti interessati sono pregati di contattare il docente.
| 1 | Martedì 07.04.2020 |
Introduzione al corso. Acustica, applicazioni. Pressione, densità, velocità; conservazione delle massa e della quantità di moto; linearizzazione delle equazioni di continuità e di Eulero. Derivazione dell'equazione delle onde \(\frac1{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-\Delta U=0\) per la pressione acustica. Esempio di soluzione: onda piana \(U(\mathbf x,t)=F(\mathbf x\cdot \mathbf d-ct)\). Condizioni al bordo: sound-soft, sound-hard, impedenza, trasmissione. Soluzioni armoniche in tempo, equazione di Helmholtz. Relazione con la trasformata di Fourier in tempo. |
1.1.1 1.1.2 |
| 2 | Giovedì 16.04.2020 |
Condizioni al bordo per l'equazione di Helmholtz: sound-soft, sound-hard, impedenza. Equazioni di Maxwell in tempo e armoniche in tempo. Formulazione delle equazioni di Maxwell armoniche in tempo come equazione di secondo grado per il campo elettrico \(\mathrm{curl\,curl\,}\mathbf{E}-k^2\mathbf{E}=\mathbf{0}\). Condizioni al bordo: PEC e di impedenza. Le componenti di una soluzione di Maxwell sono soluzioni di Helmholtz, ma un problema al bordo di Maxwell non si può risolvere come tre problemi al bordo di Helmholtz; esempio. In due dimensioni le equazioni di Maxwell si riducono a quella di Helmholtz: TM e TE modes. Equazione di Navier dell'elastodinamica lineare; caso armonico in tempo. Potenziale scalare e vettoriale, onde di pressione e onde trasversali. Acustica come caso limite dell'elasticità. Soluzioni dell'equazione di Helmholtz in 1D. Onde piane e onde stazionarie. |
1.1.3 1.1.4 1.2.1 |
| 3 | Martedì 21.04.2020 |
Onde piane, propagative e stazionarie. Onde evanescenti. Funzioni di Bessel e di Hankel, onde circolari. Funzioni di Herglotz. Riflessione di onde piane da semipiani con condizioni di Dirichlet, Neumann e impedenza. Domini Lipschitz. Spazi di Sobolev su domini Lipschitz. |
1.2.2 1.2.3 1.2.4 2.1 2.2.1 2.2.2 |
| 4 | Giovedì 23.04.2020 |
Spazi di Sobolev frazionari sul bordo di un disco e di un dominio Lipschitz. Prodotto di dualità. Operatori e teorema di traccia. Prima e seconda identita` di Green. Notazione per problemi al bordo in domini illimitati. Esempio: scattering da parte di un disco sound-soft. Selezione delle onde che si propagano verso l'esterno. |
2.2.3 2.2.4 2.4.1 |
| 5 | Martedì 28.04.2020 |
Condizione di Sommerfeld. Problema di scattering sound-soft e problema di Dirichlet esterno. Problemi troncati, far-field pattern. Soluzione fondamentale dell'equazione di Helmholtz. Single-layer potential \(\mathcal{S}\), single-layer operator \(S\), relazione attraverso la traccia. Single-layer BIE \(S\psi=g_D\), formula di rappresentazione \(u=\mathcal{S}\psi\). Metodo BEM. BEM-collocazione, termine noto e matrice. Forma variazionale della BIE, BEM-Galerkin. |
2.4.2 3.1 3.2 |
| 6 | Giovedì 30.04.2020 |
BEM-Galerkin, termine noto e matrice. Sistema lineare denso, non-simmetrico. Riduzione dimensionale rispetto al metoo FEM. Quadratura per BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Risoluzione delle oscillazioni. Descrizione del progetto da implementare. Calcolo del far-field pattern. Stima dell'errore del metodo BEM usando il valore del potenziale nello scatterer. |
3.2.1 3.2.2 3.5.1 |
| 7 | Martedì 05.05.2020 |
Problemi variazionali (\(u\in H,\mathcal{A}(u,w)=\mathcal{F}(w)\;\forall w\in H\)) non coercivi: operatori compatti e di Fredholm, alternativa di Fredholm, disuguaglianza di Garding, conseguenze.
BVPs in domini limitati. Problema di Dirichlet per Helmholtz: autofunzioni, disuguaglianza di Garding, decomposizione dell'operatore e della forma sesquilineare in parte invertibile (Laplace) e parte compatta. Problema di Helmholtz con condizioni di impedenza. Formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. Buona posizione del problema al bordo di impedenza. |
2.2.5 2.3 3.3 |
| 8 | Giovedì 07.05.2020 |
Rappresentazione integrale di Green per soluzioni esterne. Rappresentazione integrale di Green sul bordo. Double-layer potential e operator: definizioni e proprietà. Rappresentazione integrale di Green in termini di potenziali e operatori integrali. Formula della traccia di Dirichlet del double-layer potential, salto. Adjoint double-layer e hypersingular operator. Tracce di Neumann dei due potenziali e formule dei salti. Derivazione delle formule \((\mathcal{S}\psi)|_{\Omega_-}=-u^{Inc}|_{\Omega_-}\) e \(\psi=-\partial_n^+u^{Tot}\) per la soluzione \(\psi\) dell'equazione integrale. L'operatore di single-layer \(S\) è iniettivo se e solo se \(k^2\) non è autovalore di Dirichlet in \(\Omega_-\). Buona posizione o meno dell'equazione integrale, risonanze spurie. |
3.3 3.4 3.5 3.6.1 |